— А как же греки справились с этой задачей? Мне она кажется очень трудной, — сказал Илюша.
— Она и им казалась нелёгкой. А справились они с ней так. Если сторона квадрата равна а , а сторона удвоенного квадрата равна х , то мы узнаем х из пропорции:
а: х = х: 2 а ; х 2 = 2 a 2 ; х = a 
Но это решение годно для квадрата, а не для куба. Мне думается, ты наверно помнишь, как геометрически производится это построение?
— Конечно! — отвечал без запинки мальчик. — Это мы по геометрии проходили. Откладываешь на прямой отрезки, равные а и 2 а , и на их сумме, то есть на 3 а , строишь полуокружность, радиус которой равен, ясное дело, l, 5 a . А теперь, если АВ у тебя будет отрезок а и 2 а будет отрезок BD , то из точки В ты восстанавливаешь перпендикуляр до пересечения с окружностью — это и будет искомая средняя пропорциональная. Доказать, что это так, нетрудно. Теорема Пифагора всё тут объясняет.
— Хорошо. Таким образом, тебе, следовательно, ясно, что, применяя это несложное построение, для которого ты пользуешься двумя известными тебе по своим свойствам геометрическими местами, то есть прямой и окружностью — иначе сказать, линейкой и циркулем, — ты получишь совершенно точно искомую величину. Так вот для куба Гиппократ Хиосский вводит в пропорцию ещё одну величину, у , причём он допускает, что между х и у соблюдается то же соотношение, что и между а и х . Строится пропорция