— Так, значит, — сказал Илюша, — на свете есть не одна геометрия? Не только та, которую мы учим в школе?
— Далеко не одна.
— А ты мне расскажешь про них?
— Возможно, — отвечал Радикс. — То есть до некоторой степени...
— А почему этот ваш командор ещё и Кандидат Тупиковых Наук? Что это за науки?
— Ну, в лабиринте ты видел немало тупиков. Это они самые. Твои любимые!
— А почему он Магистр Деревьев?
— Если из твоего первого чертежа с двумя ромбами я уберу мост, моя система путей не будет связной системой, то есть потеряется связность, будет опять два отдельных ромба — и всё. Линию, которая соединяет два узла, мы называем путём, а если путь имеет то свойство, что при удалении его наша система теряет связность и распадается, то мы такой путь и называем мостом. Может существовать система, состоящая только из тупиков и мостов. Такая система, называется деревом. В ней нет ни одного пути, который можно было бы удалить без того, чтобы система не распалась. Ну, а теперь давай-ка мы с тобой подумаем, нет ли чего-нибудь общего между двумя такими задачами: нарисовать уникурсальную фигуру одним росчерком и обойти лабиринт, у которого только один вход. Ты, я думаю, понимаешь, что любой лабиринт можно считать «лабиринтом с одним входом», потому что всякий лабиринт мы всегда можем «обнести» ещё одним «забором».
— Уж не знаю, — вымолвил не сразу Илюша. — Правда, быть может, если начертить план лабиринта не так, как мы его чертили до сих пор, то есть изображать линиями не стенки, а самые пути, то есть коридоры, то как раз и получится такая фигура, которую нам нужно обойти или начертить...
— Постой, постой мину точку! — прервал Радикс его рассуждения. — А как ты полагаешь, нужно ли тебе в таком случае вычерчивать точный план путей?
— В каком смысле «точный»? — переспросил Илюша. — Мне кажется, что я должен быть точен в том смысле, чтобы у меня на плане было в точности то число перекрёстков, какое есть на самом деле, и то же самое относительно путей между ними. А как именно я нарисую самые пути — это не важно, лишь бы не спутаться, куда какой из них ведёт.
— Правильно, — резюмировал его собеседник. — Следовательно, вообще можно сказать, что ты интересуешься «топологической схемой путей». Если ты представишь себе, что линии путей изображены нитками, которые связаны в узлах-перекрёстках, то ты можешь как угодно деформировать, или видоизменять, свою «сетку путей» — твоя топологическая схема останется неизменной. Ты только не должен рвать нитки, развязывать узлы или завязывать новые. Вот что. Ну, а как же всё-таки насчёт того, чтобы начертить такую фигуру?
— А вот тут, — признался Илюша, — я затрудняюсь: ведь в лабиринте может быть сколько хочешь всяких тройных и вообще нечётных перекрестков, то есть узлов... Как же с этим-то быть?
— Вот то-то и дело! — отвечал Радикс. — Разумеется, так оно и есть. Но что это обозначает? Это значит, что далеко не все лабиринты ты можешь обойти, если ты решишь идти по каждому коридору только один раз. Но ведь это совсем не обязательно...
— Ну конечно! — радостно воскликнул Илюша. — Это как раз как с моим тупиком, то есть я должен пройти именно по два раза по каждому коридору. Значит, и на чертеже лучше всего изобразить каждый коридор двумя линиями. А после этого все нечётные узла станут чётными, потому что они удвоятся: тройной, например, станет шестерным, и так далее. И весь план лабиринта превратится в фигуру, у которой есть только одни чётные узлы, а такую фигуру, как мы уже доказали, можно нарисовать одним росчерком. Стало быть, всякий лабиринт можно обойти, проходя ровно два раза по каждому из его коридоров. Вот это действительно замечательное доказательство!
— Д-да... — совсем не в тон ему процедил сквозь зубы Радикс. — Нет сомнений, что это действительно доказательство, но только это отнюдь ещё не решение задачи лабиринта. И вот почему. Когда ты чертишь свою фигуру, тебе необходимо видеть её всю, а иначе ты не можешь установить, правильно ли ты идёшь и сохраняешь ли всё время её связность. В лабиринте совсем иное дело: там у тебя плана нет, и ты не знаешь, каков он в целом, а значит, тебе надо придумать такое правило для его обхода, которое дало бы тебе возможность обойти любой лабиринт, не зная заранее, как в нём переплетаются его нескончаемые коридоры.
— Да, это правда, — согласился Илюша. — Только как же это сделать?
— Ты что-то толковал насчёт «правила правой руки»? — услышал он в ответ. — Не сможешь ли ты теперь сказать после всех наших рассуждений, для каких лабиринтов оно действительно годится?
— Когда мне пришло в голову это правило, я думал о тупике, у которого имеются разветвления, а они, в свою очередь, тоже тупики. Если лабиринт построен по этому правилу, то я, конечно, обойдя два раза каждый коридор, обойду весь лабиринт, если нет петель. А если есть петли, то всё, что приходится внутри петли, я могу пропустить. Мы уже об этом говорили.
— Хорошо. А нельзя ли нам выяснить поточнее, что такое эта твоя «петля», как её возможно обнаружить на схеме путей лабиринта, о которой мы только что говорили?
— Это на схеме будет замкнутый путь, кольцо, то есть круговой маршрут внутри лабиринта. Если я попал на такой маршрут, то я могу вернуться к тому месту, где я вступил на него, с другой уже стороны, причём я приду туда по ещё нехоженому пути. В «тупиковом» лабиринте таких замкнутых маршрутов нет.
— Правильно. Мы с тобой можем даже это свойство — отсутствие петель — принять за определение того, что такое «тупиковый» лабиринт. Теперь, когда всё это выяснено, мне хочется от простого случая перейти к более сложному. Скажи-ка, нельзя ли превратить какой-нибудь лабиринт с петлями в тупиковый и как это сделать?
