— Но если это так, — продолжал далее мальчик, счастливый не столько похвалой Радикса, сколько сознаньем, что он наконец обрёл твёрдую почву для своих рассуждений, — и точность моей суммы неограниченно возрастает за счёт увеличения числа цилиндров и утончения их, то ясно, что в пределе я и получу совершенно точно искомую величину!
— Так, — отвечал Коникос. — Вот выходит, что «чем больше ошибок ты сделаешь, тем лучше окажется твой результат», ибо чем больше у тебя ошибок, тем каждая из них меньше. А отсюда ясно, что ты действительно имеешь возможность при вычислении объёма конуса разбивать его на тончайшие слои и считать каждый слой цилиндром, пренебрегая теми крохотными колечками (они у нас останутся, если из каждого цилиндрика вычесть соответственный усечённый конусик), которые представляют собой бесконечно малые более высокого порядка. А это уже величины такой малости, что по сравнению с ними бесконечно малые первого порядка, о которых мы до сих пор с тобой говорили, суть величины бесконечно большие.
— А всё-таки есть одна вещь, которую мне очень трудно усвоить! — вздохнул Илюша. — Как это так можно чем-нибудь пренебрегать в математике?
— Чем возможно пренебрегать, а чем нельзя, мы узнаём первоначально, разумеется, из опыта. Замечательный физик и мыслитель девятнадцатого века Больцман утверждал, рассуждая о вопросах, близких к тем, о которых мы с тобой сейчас говорим, что не логика, то есть не правила рассуждения, решает в конце концов, правильна ли данная система размышлений или неправильна. Решает этот вопрос дело, то есть наша человеческая повседневная деятельность. «То, что ведёт нас к верному делу, — говорил Больцман, — то и есть истина». И если бы мы с помощью данных рассуждений не могли достигнуть некоторых неоспоримых практических результатов, то никогда и не могли бы установить, как же, наконец, следует рассуждать — так или иначе. Если я путём такого процесса бесконечного уменьшения слагаемых кружков получаю правильное решение, то, следовательно, и способ мой правилен. Конечно, затем я должен обсудить теоретически, обосновать и осмыслить все эти операции. Очевидно, что я могу так обращаться с конусом только в том случае, если имею возможность убедиться, что этим путём я действительно могу приблизиться к некоторому пределу. И вот так-то, пере решав бесчисленное множество таких задач, люди и научились складывать бесконечно малые величины и узнали постепенно свойства бесконечно малых. Ничего нет удивительного в том, что человек, который никогда не имел дела с бесконечно малыми, не знает, как с ними обращаться. Что же касается понятия предела, то тут вот что можно сказать для выяснения. Ясно, что периметр вписанного многоугольника, если мы будем последовательно удваивать число его сторон, должен безгранично приближаться к длине окружности. Стать больше её он не может, ибо ведь он вписанный, а не описанный, но, увеличиваясь, он всё тесней и тесней приближается к ней по мере новых и новых удвоений его сторон. Отсюда мы можем придти к определению длины окружности как предела периметров вписанных многоугольников, если мы безгранично удваиваем число их сторон. С другой стороны, и периметр описанного многоугольника, при бесконечном удвоении числа его сторон также будет стремиться, уменьшаясь, к тому же пределу, то есть к длине окружности. Стать меньше её он не может, так как он описанный, а не вписанный. Длина окружности лежит всегда между периметром описанного и периметром вписанного многоугольников. Она меньше первого и больше второго. И оба стремятся к ней. Вот ты и можешь проверять одно приближённое решение при помощи другого.
